數學世界的“大衛王”：創造性、影響力和正義感

被譽為數學界亞歷山大大帝的希爾伯特在兒時未顯露出任何天賦。但經過高中的蛻變，他激發出了對數學的熱情，走上了數學之路。青年希爾伯特因徹底解決代數不變量理論中“戈丹問題”的壯舉，而成為最受矚目的后起之秀（參見上篇《數學世界的“大衛王”：普通娃如何成為數學翹楚》）。后來，他被邀請前往哥廷根大學，在那里，希爾伯特迅速成為數學界的領袖人物。然而，隨著希特勒的上臺，他在晚年遇到了巨大的困境和挑戰......

撰文 | 丁玖 （美國南密西西比大學數學系教授）

成為哥廷根的引力中心

1892年10月12日，成了不變量王子的希爾伯特迎娶了太太，過上了幸福的家庭生活。在后來長達半個世紀的婚姻中，雙方均感滿意，僅有的遺憾是唯一的愛情結晶弗朗茨終生有精神問題。在這之前，當了八年副教授的赫爾維茨接受了蘇黎世瑞士聯邦工學院的正教授聘書，而閔可夫斯基幾年前服完兵役后也去了波恩大學任教?？履崴贡さ娜齽椭皇Ｏ孪柌亍靶斡跋嗟酢?，然而他們三人之間的友誼和通信一直持續到后兩人的先后謝世。

當年八月，教授會一致同意，由希爾伯特接任赫爾維茨的位置，而閔可夫斯基在波恩也被晉升為副教授。下一年以希爾伯特對e和π之超越性簡短證明開始，他放開了不變量，向數論進軍。導師林德曼接受了慕尼黑大學的位置，教授會將希爾伯特放進了下一任正教授的三人候選名單上報柏林教育部，主管的官員十分看重克萊因的意見，于是他在三十一歲的希爾伯特名字上畫了一個圈。而且他還詢問被提拔人，誰可以繼任他的副教授之職？

然而，波恩的數學家不放閔可夫斯基，所以他遲遲去不了柯尼斯堡，直至1894年春才能赴任。兩位親密的朋友，不光繼續他們在數論領域的討論，而且又可以在蘋果樹下討論了。然而到了年底，由于韋伯將去斯特拉斯堡大學，哥廷根空出一個正教授的名額，克萊因抓住機會，向上級極力推薦希爾伯特，很快新的任命書寄給了后者。

希爾伯特只好與閔可夫斯基暫時告別，不過他們最終會在哥廷根共創輝煌。1895年3月，他來到高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）、狄利克雷（Peter Gustav Dirichlet，1805-1859）和黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）工作過的地方。恰巧，這一年是高斯到達哥廷根一百周年。同一年，閔可夫斯基接替了希爾伯特在柯尼斯堡的正教授職位。

希爾伯特在哥廷根正式工作到法定的六十八歲，歷時三十五年，這里是他的第二故鄉。在最初的三年，他完成了德國數學會邀請寫作的《數論報告》，它有五個部分，打印的手稿近四百頁，其創新思想推動了同調代數的發展，統一了代數數域。其后兩年間，他用公理化方法重寫了歐幾里得幾何，用新公設代替了兩千年前的公設，修補了《幾何原本》的邏輯漏洞，讓人們懂得基于直覺的“點、線、面”概念可以分別代之以看似奇怪的“桌子、椅子、啤酒杯”。1899年他出版了名著《幾何基礎》。之后他轉向黎曼命名的“狄利克雷原理”，在一年內解決了這個與拉普拉斯方程有關的屬于幾何函數論的重大問題。

這時，新世紀的鐘聲響了。1899年底，翌年八月將在巴黎召開的第二屆世界數學家大會邀請希爾伯特做大會報告。在1896年的首屆大會上，龐加萊和赫爾維茨分別關于數學與物理相互關系及現代函數論發展的演講最令他心動，他羅列了幾個可行的報告論題，包括展望新的世紀所面臨的數學問題，與閔可夫斯基商量。老朋友回答：“最有吸引力的題材，莫過于展望數學的未來，列出在新的世紀里數學家應該努力解決的問題。這樣一個題材，將會使你的講演在今后幾十年的時間里成為人們議論的話題?！?/p>

閔可夫斯基的預言不假，今日數學界之外的人也知道希爾伯特的大名，或許正因為那二十三個數學問題的花名冊。希爾伯特一旦接受任務，行動起來就會慢得出奇，之前他寫作《數論報告》時常讓閔可夫斯基來信催促。然而，慢有慢的好處，最大的好處是：完成的作品幾十年內不會被人遺忘。

這一次，閔可夫斯基再次施加援手，不斷與他討論。希爾伯特于七月中旬寄給他名為“數學問題”的講演稿，他和赫爾維茨仔細推敲，提供建議，包括縮短演講時長。7月28日，演講稿寄還給了希爾伯特。

本來希爾伯特的演講應用在數學家大會的開幕式上，但由于直到七月他才寫出初稿，發出的會議日程表未列他的演講。最終他只能在“一般問題”兩個小組的聯席分會上做此報告。然而，這場報告在數學上吹響了向新世紀進軍的號角。它的內容如此重要，以至于希爾伯特傳的作者在第十章《數學的未來》全文重登了它。

進入二十世紀，盛名之下的希爾伯特探索的領域更加廣闊，他的主要工作包括數論（用存在性論證解決了古老的華林問題）、積分方程（這是泛函分析中希爾伯特空間的來源）、數學基礎（他是三大學派之一形式主義學派的領頭羊）。1902年，克萊因利用對教育部的影響力，給哥廷根增加了一個正教授名額，把閔可夫斯基從蘇黎世聯邦工學院請到這里，后者和希爾伯特從此肩并肩地工作到1909年病逝。是年，希爾伯特悲痛地寫下了他一生中的第二篇悼文，第一篇是悼念1897年去世的維爾斯特拉斯。閔可夫斯基在后半生也鐘情于物理學，尤其研究了時空的四維空間，他和希爾伯特主持的電動力學討論班，吸引著像玻恩（Max Born，1882-1970）這樣的未來量子力學先驅，甚至導出了與愛因斯坦的狹義相對論類似的思想。閔可夫斯基早逝后，希爾伯特繼續把眼光投向了新的物理，如氣體動力學理論，并在廣義相對論方面作出了杰出貢獻。

在希爾伯特的吸引力下，“打起背包到哥廷根去！”是當時一大批青年才俊的理想。除了來自德國的，如布魯門薩爾（Otto Blumenthal，1876-1944）、外爾和柯朗，也有來自世界各地的年輕人，如波蘭的斯坦豪斯（Hugo Steinhaus，1887-1972）。這幾人后來分別于1898、1908、1910、1911年在希爾伯特門下獲得博士學位。年輕的馮·諾伊曼還當過他的助手。希爾伯特為哥廷根大學共指導了六十九名博士生，其中許多人成為著名數學家。中國現代數學家中也有出身哥廷根的，他們赴德也許沒能直接拜希爾伯特為師，卻有機會成為希爾伯特同事或弟子的學生，如魏時珍（1895-1992）、朱公瑾（1902-1961）、曾炯（1897-1940）、蔣碩民（1913-1992），他們分別于1925、1927、1934和1935年獲得博士學位，其中曾炯親得偉大的女代數學家諾特（Emmy Noether，1882-1935）的指導，卓有成就，可惜英年早逝。

上個世紀前三十年間，在哥廷根直接獲得過希爾伯特教誨甚至只短暫沐浴過他思想光芒的那些年輕數學家和物理學家，都深深銘記著這位數學科學家對他們的巨大影響。當柯朗完成《數學物理方法》這部經典著作的初稿時，雖然自己的老師希爾伯特并未參與寫作，但柯朗毫不猶豫地將希爾伯特署名為共同作者。在1924年該書初版的序言中，柯朗寫道：“本書的責任由我個人擔負，可是，本書加上我的老師、同事和朋友D. 希爾伯特的名字，這是正當的，蓋因從希爾伯特的一些論文和講義中采取了許多材料，并且希望本書表現一些希爾伯特的精神，這種精神在數學研究和教學上具有決定性的影響?！?/p>

在一篇為《自然科學》撰寫的《數學物理方法》的書評中，作者寫道：“寫上希爾伯特的名字，這不單是一種奉獻。全書閃耀著希爾伯特精神的光芒——熱烈地追求簡單明確的真理，把繁瑣蕪雜的東西拋到一邊，并以無比清晰的巨匠手法闡明認識要點之間的相互聯系——這種基本的精神，以巨大的科學熱情熏陶了整整幾個世代的研究者?！?/p>

“希爾伯特精神”的功效，可用馮·卡門在其自傳 The Wind and Beyond 中的一句話概而括之：“希爾伯特是那個能把手指放在問題的核心并以一閃而過的理解照亮頭腦的人?！瘪T·卡門回憶起，在他成長于哥廷根的那些年，希爾伯特“總是給我啟發，因為他很快就發現了一些關系，這些關系照亮了黑暗領域，并解決了其他數學家多年來一直在研究但沒有成功的問題?！弊鳛楣こ虒W家和應用數學家，馮·卡門甚至這樣說：“從永恒的角度來看，我認為科學史上最偉大的數學家是希爾伯特，因為他將積分方程理論發展成為一種工具，使科學家能夠在曾經混亂不堪的領域取得突破?！?/p>

迷人的教學風格

希爾伯特同時也是偉大的教師，這與歷史上的一些偉大科學家不同，比如牛頓的課堂教學很蹩腳，以至于聽者無幾。在關于新世紀二十三個數學問題的那場報告中，希爾伯特引用了一位老法國數學家曾經說的話：“一種數學理論應該這樣清晰，使你能向大街上遇到的第一個人解釋它?！彼诮虒W和講演中也是把“清晰”放在首位的。

在希爾伯特主持的討論班里，他對演講者的要求相當苛刻。我不知道控制論之父維納（Nobert Wiener，1894-1964）上世紀三十年代在清華大學講課一年的效果如何，但他在自傳中花了十多頁篇幅評述了自己在哥廷根的一次講演。之后他沒講的故事是這樣的：演講結束后，大家照例去餐廳共進晚餐，在席間希爾伯特開始談及最近幾年在此聽到過的演講：“現在的演講比過去差遠了。在我年輕的時候，人們都很講究演講藝術。演講人對于自己究竟要講些什么以及怎樣才能講好，考慮是很多的?，F在的年輕人卻不這么干，在哥廷根尤其如此。我想世界上最差的演講恐怕就是在哥廷根做的。今年情況更壞，我壓根兒就沒有聽到一次好講演。最近尤其糟糕，不過，今天下午有個例外……”

這時，那個年輕的美國“神童”以為希爾伯特要夸獎他了?！敖裉煜挛绲倪@個演講，”希爾伯特繼續說道：“是最近所有這些講演中最糟糕的一次！”

維納沒好意思把希爾伯特的這個差評放進自己的自傳。然而他還是留下一句對后者的無限敬佩：希爾伯特是“能夠把巨大的抽象能力與實際的物理意義密切結合起來的偉大數學家，是自己學習的楷?！?。

馮·卡門在自傳中比較過自己的博士導師普朗特（Ludwig Prandtl，1875-1953）和希爾伯特的教學風格：“盡管普朗特具有遠見卓識，是一位偉大的思想家，但他卻是一位乏味的講師，與希爾伯特截然相反，希爾伯特的智慧和邏輯令人著迷?！?馮·卡門由此總結道：“為了發揮作用，教師必須確?？茖W初學者先掌握基本原理，然后才能理解例外情況?！边@應該也是他從希爾伯特的課堂及討論班中獲得的真知灼見。

正直與誠實的人

科學家，無論名氣大小，首先是人，他的“人性”會在其一生中充分顯露。有愛因斯坦式的科學家，堅守道德陣地，追求人類正義，也有比貝爾巴赫類的科學家，效忠納粹思想，參與人間迫害。希爾伯特是如何對待偏見甚至惡行的？

歷史最悠久的偏見對象也許是婦女。對數學和物理都作出杰出貢獻的諾特于1907年在埃爾朗根大學獲得博士學位，然后在那里的數學研究所工作了七年，卻沒有收入，就因為她是女性，備受性別歧視，不能獲取正式學術位置。1915年，希爾伯特和克萊因將她請到哥廷根，校方卻連講師的資格都不給她。教授會的歪理是：“一個女人怎么能做講師呢？如果讓她當了講師，那她以后就會成為教授，成為大學評議會的成員，難道能允許一名女人進入評議會嗎？”對此，希爾伯特大叫一聲：“先生們，我不認為候選人的性別是不能讓她當講師的理由。大學評議會畢竟不是澡堂?！?/p>

然而，在當時的德國，像希爾伯特這樣不抱偏見的教授太少了，世俗的力量實在太強大。盡管他力排眾議，諾特依然與講師資格無緣，愛才并有一顆善良之心的希爾伯特只好自己想辦法幫助她留在哥廷根，比如以他的名義開課，但卻由諾特主講。在諾特以希爾伯特的名義教書第四年時，是一戰結束后的第一年，當時德國社會變革的成果之一是提高了婦女的社會地位，給了她們更多的權利。此時哥廷根大學終于批準了諾特申請的無薪講師資格。這時距離她獲得博士學位十二年。

希爾伯特經歷了兩次世界大戰。首次大戰一開始，他就認為戰爭是愚蠢的。政府讓著名學者和藝術家簽署一份《告世界文明書》，其首句為“說德國發動了這場戰爭，這不是事實?！弊鳛樽钣新曂臄祵W家，克萊因和希爾伯特都被邀請簽名。作為“極端的愛國主義者”，克萊因毫不猶豫地做了，而希爾伯特因不能判斷宣言上所言是否屬實而拒絕簽名。另一位未簽名者是愛因斯坦。希爾伯特為此付出了代價，比如那些愛國的學生不進他的課堂，認為他是“賣國賊”。但不久后，克萊因為自己沒有核實內容就冒失簽名而后悔了。

一戰結束前，品格高尚的法國著名數學家達布（Jean Gaston Darboux，1842-1917）去世，希爾伯特寫下了一生中第三篇悼文在哥廷根雜志《通訊》發表。然而一群愛國學生要求他撤回對“敵國數學家”的悼念文章，被他嚴詞拒絕。他的第四篇也是最后一篇悼文是紀念兩年后去世的他的引路人赫爾維茨。

一戰結束后，由于德國是戰敗國，國際學術界出現了一些孤立德國科學家的聲音，較長一段時間也不邀請德國學者參與正式國際學術活動，同時部分德國科學家的頭腦也充滿著狹隘民族主義的想法。到了1928年，意大利數學界籌備十六年來的第一次正式國際會議，出于科學的道德和目標，恢復邀請德國數學家參加大會。然而，許多德國人不想出席，比貝爾巴赫則是他們當中叫嚷得最兇的一個，他甚至發出一封公開信，呼吁德國大學甚至中學抵制這次會議。

希爾伯特回應了公開信，旗幟鮮明地表明了自己的立場：“我們相信，比貝爾巴赫先生的做法將給德國科學帶來不幸，并使我們受到來自友好方面的正當批評……意大利同行們不惜花費時間和精力，為偉大的理想主義而奔走……在這樣的情況下，對這次會議采取親善的態度，似乎是應有的正直行為和最起碼的禮貌?！?/p>

當年八月，當已六十六周歲的希爾伯特率領由六十七名數學家組成的德國代表團進入會場時，在片刻的鴉雀無聲后，一陣暴風雨式的掌聲打破了寧靜，全體代表起立歡迎。希爾伯特用康德式的哲理性向全場演講：

“應該看到，作為數學家，我們是站立在精確科學研究的高山之巔。除了義不容辭地擔當起這個崇高的職責，我們別無其他選擇。任何形式的限制，尤其是民族的限制，都是與數學的本質格格不入的。在科學研究中人為地制造民族的或種族的差異，是對科學極端無知的表現，其理由是不值一駁的。

“數學不分種族……對于數學家來說，整個文明世界就是一個國家?！?/p>

希爾伯特還一直以真誠的態度對待科學研究。愛因斯坦早已構建引力理論的基本原理，但花了八年才找到最終形式。1915年初夏，希爾伯特把愛因斯坦請到哥廷根就廣義相對論做了一周講座，之后他開始研究場方程。當年11月11日和25日，愛因斯坦向柏林科學院寄去兩篇“廣義相對論”的文章，希爾伯特則于同月20日向哥廷根皇家協會提交了“物理學基礎”，用公理方法推導出引力場方程。希爾伯特完全相信愛因斯坦是該理論的創始人，兩人一生中從未發生過關于場方程的優先權之爭。希爾伯特這樣說道：

“哥廷根馬路上的每一個孩子，都比愛因斯坦更懂得四維幾何，但是，盡管如此，發明相對論的仍然是愛因斯坦而不是數學家?！?/p>

希特勒上臺后，納粹思潮席卷德國，猶太人紛紛遭殃。希爾伯特雖因血統“高貴”可以“高枕無憂”，但他心系數學世界，關懷猶太弟子，沒有充當納粹集團的鷹犬。在他生命的最后十年，他目睹瘋狂的祖國、凋零的科學、冷清的校園、被迫害或被迫逃離的猶太人同事。當新任納粹教育部長問他“數學研究所是否真的因為猶太人的離開而遭受了如此大的損失？”他憤而答道：“損失？它已經不存在了，不是嗎？”

在最后的那幾年，希爾伯特夫婦孤獨地活著，他的弟子外爾、柯朗等都先后去了美國；他的數論同事蘭道（Edmund Landau，1877-1938）在1933年被剝奪教書資格，五年后去世；他的代數同事諾特1933年底逃亡美國，但于1935年春因手術去世。在希爾伯特七十周歲生日當天，伴隨著他的全集出版，各地數學家齊聚哥廷根為他舉杯，可是十年后的八十周歲生日，沒有了聚會，只剩下一篇列數他數學貢獻的頌詞，其中的猶太人學生名字集體失蹤，名字未被寫進頌詞的布魯門薩爾卻從荷蘭寄來對導師的生日賀文。不久，希爾伯特跌倒在大街上，在身體的苦痛中茍延殘喘了一年多后，與世長辭。

納粹只能得意于一時，正義終將戰勝邪惡。那些助紂為虐的科學家最終的命運也是“名譽掃地”，不用說比貝爾巴赫，甚至國際數學家大會的耐望林納獎，也于2018年改名為算盤獎（Abacus Medal），蓋因芬蘭數學家耐望林納（Rolf Nevanlinna，1895-1980）在二戰中效力納粹。當深受希爾伯特影響的匈牙利裔美籍科學家馮·卡門于二戰結束前的德國審問他的老師普朗特時，按他自傳所說：“我不相信我曾經微笑過?！蔽ㄓ邢裣柌剡@樣正直的德國科學家，“出污泥而不染”，表現出高尚的情操，因而八十年來一直被人頌揚。

康德一生追問“頭頂的星空和內心的道德”，希爾伯特一生踐行康德的格言。當退休時成為家鄉柯尼斯堡榮譽市民時，他的受禮演講也留下與不可知論對著干的一句豪言：

“我們必須知道，我們必將知道(Wir müssen wissen Wir werden wissen?！?/p>

這個刻在他墓碑上的“希爾伯特理想”，永遠激勵人們向前。

寫于2023年9月9日

2023年10月14日修改

美國哈蒂斯堡夏日山莊

本文受科普中國·星空計劃項目扶持

出品：中國科協科普部

監制：中國科學技術出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

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